Cùng TH Văn Thủy tìm hiểu Cách viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm – Toán 10 chuyên đề
Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm có bán kính R; hoặc đi qua 2 điểm tiếp xúc với đường thẳng (d); hoặc đi qua 2 điểm có tâm nằm trên đường thẳng (Δ) cũng là dạng toán phổ biến. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải bài tập dạng này ngay sau đây.
* Cách giải bài tập viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm
Tùy từng trường hợp, bài sẽ cho đường tròn (C) đi qua 2 điểm có bán kính R;
hoặc đường tròn (C) có đường kính AB và tọa độ điểm A, điểm B;
hoặc đường tròn (C) đi qua 2 điểm và có tâm nằm trên đường thẳng (d);
hoặc đường tròn (C) đia qua 2 điểm và tiếp xúc với một đường thẳng (Δ);
Về cơ bản chúng ta cần thực hiện:
– Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)
– Tìm bán kính R của (C)
– Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2
Để dễ hiểu hơn, chúng ta cùng vận dụng vào giải một số bài tập minh họa.
* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) trong biết (C) đi qua 2 điểm AB với A(1;1), B(5,3) và nhận AB là đường kính.
* Lời giải:
– Vì đường tròn (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).
– Ta có toạ độ tâm I của (C) là trung điểm A,B là:
– Bán kính 
⇒ Đường tròn (C) có tâm I(3;2) và bán kính 
có pt:
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 5
* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(2;0), B(3;1) và có bán kính R = 5.
* Lời giải:
– Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a;b)
Vì đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
IA = 5 ⇒ IA2 = R2 = 25
⇒ (a – 2)2 + (b – 0)2 = 25
⇒ a2 – 4a + 4 + b2 = 25
⇒ a2 – 4a + b2 = 21 (1)
IB = 5 ⇒ IB2 = R2 = 25
⇒ (a – 3)2 + (b – 1)2 = 25
⇒ a2 – 6a + 9 + b2 – 2b + 1 = 15
⇒ a2 – 6a + b2 – 2b = 15 (2)
Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta được:
2a + 2b = 6 ⇒ a + b = 3
⇒ a = 3 – b (3)
thay trở lại pt (1) ta có
(3 – b)2 – 4(3 – b) + b2 = 21
⇒ b2 – 6b + 9 – 12 + 4b + b2 = 21
⇒ 2b2 – 2b = 24
⇒ b2 – b -12 = 0
Giải phương trình bậc 2 với ẩn là b này ta được nghiệm b1 = -3 và b2 = 4
Với b = -3 thì từ pt (3) ⇒ a = 6 ⇒ I(6; -3)
Với b = 4 thì từ pt (3) ⇒ a = -1 ⇒ I(-1; 4)
Vậy ta có 2 đường tròn thỏa là:
(C1): (x – 6)2 + (y + 3)2 = 25
(C2): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 25
* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): x + y + 2 = 0
* Lời giải:
– Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a;b),
Vì I(a,b) thuộc đường thẳng x + y + 2 = 0 nên ta có: a + b + 2 = 0 (1)
vì (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) nên ta có R = IA = IB ⇒ IA2 = IB2
⇒ (xA – xI)2 + (yA – yI)2 = (xB – xI)2 + (yB – yI)2
⇒ (a – 0)2 + (b – 1)2 = (a – 1)2 + (b – 0)2
⇒ a2 + b2 – 2b + 1 = a2 – 2a + 1 + b2
⇒ 2b = 2a ⇒ a = b (2)
thay vào pt (1) ta được a = b = -1
và R2 = IA2 = 12 + 22 = 5
Vậy phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) và có tâm I(-1;-1) là:
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 5
* Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(-1;0), B(1,2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): x – y – 1 = 0
* Lời giải:
– Gọi I(a;b) là tâm đường tròn và R là bán kính của đường tròn (C).
– Khi đó khoảng cách từ tâm I của (C) đến đường thẳng (d) là:
(1)
Vì A, B là 2 điểm thuộc đường tròn nên ta có:
(-1 – a)2 + b2 = R2 (2)
(1 – a)2 + (2 – b)2 = R2 (3)
Từ (2) và (3) có: (1 + a)2 + b2 = (1 – a)2 + (2 – b)2
⇒ 1 + 2a + a2 + b2 = 1 – 2a + a2 + 4 – 4b + b2
⇒ 2a + 1 = -2a – 4b + 5
⇒ 4a + 4b = 4
⇒ a + b = 1 (4)
Từ (1) và (2) lại có:
(a – b – 1)2 = 2[(1 + a)2 + b2]
⇒ 1 + a2 + b2 + 2ab – 6a – 2b = 0
⇒ 1 + (a + b)2 + 6(a + b) – 8b = 0
mà theo (4) thì: a + b = 1 nên
⇒ 1 + 12 + 6 – 8b = 0
⇒ b = 1 và từ (4) ⇒ a = 0
⇒ R2 = 2.
Vậy phương trình đường tròn (C) là: x2 + (y – 1)2 = 2
Như vậy với Cách viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm và ví dụ cụ thể ở trên, TH Văn Thủy hy vọng bài viết giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để TH Văn Thủy ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.
Bản quyền bài viết thuộc trường THPT thành Phố Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: Trường TH Văn Thủy (thptsoctrang.edu.vn)
