Phép tịnh tiến là gì? Các dạng bài tập toán của phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến là gì? Các dạng bài tập toán của phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến là một trong phần kiến thức Toán 11, phân môn Hình học vô cùng quan trọng. Nhằm giúp quý thầy cô cùng các bạn học sinh có thêm ngồn tư liệu quý để dạy và học tốt chuyên đề phép tịnh tiến, các dạng bài tập toán của phép tịnh tiến, TH Văn Thủy đã chia sẻ bài viết sau đây. Các bạn theo dõi nhé !

I. PHÉP TỊNH TIẾN LÀ GÌ ?

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình hiến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho  = được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .

Phép tịnh tiến theo vectơ  thường được kí hiệu là .

 được gọi là vectơ tịnh tiến.

Cho nên: (M) = M’ <=>  = .

– Khi biết vectơ tịnh tiến ta hoàn toàn xác định được phép tịnh tiến đó.

– Khi vectơ tịnh tiến là vectơ – không thì ta có: (M) = M ∀ M.

Như vậy phép tịnh tiến  là một phép đồng nhất.

2. Biểu thức toạ độ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho vectơ (a;b) và hai điểm M(x; y),

M'(x’; y’).

3. Tính chất

Suy ra phép tịnh tiến là một phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

– Phép tịnh tiến:

+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm tương ứng;

+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó;

+ Biến tam giác thành tam giác bằng nó;

+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CỦA PHÉP TỊNH TIẾN

Dạng 1: Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh

Phương pháp giải: Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của v→. Để tìm tọa độ của v→, ta có thể giả sử v = (a; b), sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn a,b và giải hệ tìm a,b

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x + y – 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ v→ có giá song song với Oy biến d thành d′ đi qua điểm A (2; 4)

Lời giải

Vì v→ có giá song song với Oy nên v→ = (0;k ) (k ≠ 0)

Lấy M(x;y) ∈ d => 3x + y – 9 = 0    (1) 

Gọi  

Thay vào (1) ta được: 3x’ + y’ – k – 9 = 0

Do đó  

Mà A (2; 4) thuộc d, suy ra k=1

Vậy v→ = (0;1) 

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: 2x –3y + 3 = 0 và d′: 2x – 3y – 5 = 0. Tìm tọa độ v→ có phương vuông góc với d để Tv→(d) = d’ 

Lời giải

Gọi v→ = (a;b) 

Lấy điểm M (x; y) tùy ý thuộc d, ta có: d: 2x – 3y + 3 = 0   (1)

Gọi  

Ta có:  

Thay vào (1) được: 2x’ – 3y’ – 2a + 3b + 3 = 0

Suy ra: -2a + 3b + 3 = -5 ⇔ 2a – 3b = 8 Chuyển vế sai   

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n→ = (2;-3) suy ra vectơ chỉ phương của d là u→ = (3;2) 

Suy ra: v→.u→ = 3a + 2b = 0 

Có hệ phương trình:   

Vậy  

Dạng 2: Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v→ = (3;4). Hãy tìm ảnh của điểm A (1; -1) qua phép tịnh tiến theo vectơ v→. 

Lời giải

Gọi A′ (x′; y′) là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v→ 

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:  

Ta có  

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v→ = (2;-4) và đường thẳng d có phương trình 2x – 3y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tv→ 

Lời giải

Lấy điểm M (x; y) tùy ý thuộc d, ta có: 2x – 3y + 5 = 0       (1)

Gọi  

Thay vào (1) ta được phương trình: 2(x^‘ – 2) – 3(y^‘ + 4) + 5 = 0 => 2x^‘ – 3y^‘ = 0 

Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: 2x – 3y – 11 = 0

Dạng 3: Sử dụng phép tịnh tiến để giải bài toán tìm tập hợp điểm

Phương pháp giải: Nếu  và điểm M di động trên hình (H) thì điểm M’ thuộc hình (H’), trong đó (H’) là ảnh của hình (H) qua  

Ví dụ 1:  Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn

Lời giải

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D

 nên DC // AH

Tương tự AD // CH

Suy ra: ADCH là hình bình hành

OM không đổi nên H là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ .  Do đó khi điểm A di động trên đường tròn (O) thì H di động trên đường tròn (O‘) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ  

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định,  không đổi. Tìm tập hợp các điểm B, C

Lời giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Khi đó theo định lí sin ta có   không đổi 

Vậy  không đổi nên O di động trên đường tròn tâm A bán kính  

Ta có OB = OC = R không đổi và  không đổi suy ra  không đổi

Mặt khác có phương không đổi nên  cũng có phương không đổi

Đặt  không đổi thì  

Vậy tập hợp điểm B là đường tròn  ảnh của  qua và tập hợp điểm C là đường tròn  ảnh của  qua  

Dạng 4: Dùng phép tịnh tiến để giải các bài toán dựng hình

Phương pháp giải: 

– Để dựng một điểm M ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem M là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến

– Sử dụng kết quả: Nếu  và N ∈ H thì N ∈ (H^‘) , trong đó và kết hợp với M thuộc hình (K) để suy ra M ∈ (H^‘) ∩ (K)

Ví dụ 1:  Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d và d1 cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó sao cho đường thẳng AB không song song hoặc trùng với d (hay d1). Hãy tìm điểm M trên d và điểm M’ trên d1 để tứ giác ABMM’ là hình bình hành

Lời giải:

Điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ BA→. Khi đó điểm M’ vừa thuộc d1 vừa thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ BA→ 

Từ đó có thể suy ra cách dựng: 

-Dựng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ BA→ 

-M’ là giao điểm của d’ và d1

-Dựng điểm M là ảnh của điểm M’ qua phép tịnh tiến theo vectơ BA→ 

Suy ra tứ giác ABMM’ chính là hình bình hành thoả mãn yêu cầu của đầu bài

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng d song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N sao cho AM = CN

Lời giải

Cách dựng:

-Dựng phân giác trong AP của góc A

-Dựng đường thẳng đi qua P song song với AC cắt AB tại M

-Dựng ảnh  

Đường thẳng MN chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán

III. BÀI TẬP LUYỆN THÊM

Bài 1: Cho đường (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến tại B tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ

Bài 2: Tam giác ABC cố định trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE. Từ D và E vẽ các đường vuông góc với AB và AC, các đường thẳng này cắt nhau tại M. Tìm tập hợp điểm M

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol (P): y = x² và (Q): y = x² + 2x + 2  .Tìm phép tịnh tiến T biến (Q) thành (P)

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² + 2x + 1 . Viết phương trình (P’) sao cho qua phép tịnh tiến theo v→ = (1;1) thì (P) là ảnh của (P’)

Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v→ = (-2;3) 

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD

Bài 7: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định trên đường tròn (O) tâm O. Điểm A di động trên (O). Chứng minh khi A di động trên (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxỵ cho đường thẳng d có phương trình 3x – y – 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc toạ độ và viết phương trình đường thẳng d’

Bài 9: Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C).

Bài viết trên đây chúng tôi đã chia sẻ đến quý bạn đọc chuyên đề về phép tịnh tiến và các dạng bài tập toán của phép tịnh tiến. Hi vọng, bài viết đã cung cấp thêm cho bạn nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm chuyên đề về định lí Miquel nữa bạn nhé !

Bản quyền bài viết thuộc trường THPT thành Phố Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: Trường TH Văn Thủy (thptsoctrang.edu.vn)