Tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp

Bài viết hôm nay, TH Văn Thủybook.com sẽ giới thiệu cùng quý thầy cô và các bạn học sinh chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Cùng chia sẻ ngay thôi nào !!!

I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. Khái niệm và tính chất

dinh nghia va tinh chat cua tich vo huong

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ $(0; \vec{i}; \vec{j}),$ cho hai vec tơ $\overrightarrow a =({a_1};{a_2}), \overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$ . Khi đó tích vô hướng $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow a =({a_1};{a_2}), \overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$ khác vectơ $\vec{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$

3. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ $\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$ được tính theo công thức:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}}$

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu $\overrightarrow a =({a_1};{a_2}), \overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$ khác vectơ $\vec{0}$ thì ta có:

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|} = \frac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}.\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}$

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm $A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B})$ được tính theo công thức :

$AB = \sqrt{({x_{B}-x _{A}})^{2}+({y_{B}-y_{A})}^{2}}$

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Dạng 1: chứng minh Hai vecto vuông góc

A. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa

Nếu cach chung minh hai vecto vuong goc cuc hay a02 1 thì hai vectơ cong thuc cach tinh goc giua hai vecto cuc hay a01 vuông góc với nhau, kí hiệu .

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích vô hướng và áp dụng trong hệ tọa độ

Cho cach chung minh hai vecto vuong goc cuc hay a03 .

Khi đó:

cach chung minh hai vecto vuong goc cuc hay a04 1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ cong thuc cach tinh goc giua hai vecto cuc hay a01 vuông góc với nhau và cach chung minh hai vecto vuong goc cuc hay a06 . Chứng minh hai vectơ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

cach chung minh hai vecto vuong goc cuc hay a07 1

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có cach chung minh hai vecto vuong goc cuc hay a09 . Chứng minh hai vectơ vuông góc.

Hướng dẫn giải:

cach chung minh hai vecto vuong goc cuc hay a10 1

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC và điểm D bất kỳ thuộc cạnh AC. Tính AD theo a để BD ⊥ AM.

Hướng dẫn giải:

cach chung minh hai vecto vuong goc cuc hay a11 1

cach chung minh hai vecto vuong goc cuc hay a12 1

Dạng 2: Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù)

A. Phương pháp giải

Các bước làm bài

tim m de goc giua hai vecto bang mot so cho truoc cuc hay a01

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ vecto a c2 = (3;m) và vecto b c2 = (1;7). Xác định m để góc giữa hai vectơ và là 45°.

Hướng dẫn giải:

tim m de goc giua hai vecto bang mot so cho truoc cuc hay a02

tim m de goc giua hai vecto bang mot so cho truoc cuc hay a03

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ vecto u c2 = (-1;1) và vecto v c2 = (m;⁡2). Tìm m để góc giữa hai vectơ và là 135°.

Hướng dẫn giải:

tim m de goc giua hai vecto bang mot so cho truoc cuc hay a04

tim m de goc giua hai vecto bang mot so cho truoc cuc hay a05

Vậy không tồn tại m để góc giữa hai vectơ vecto u c2 và vecto v c2 là 135°.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ vecto u c2 = (4;1) và vectơ vecto v c2 = (1;4). Tìm m để vectơ vecto a c2 =m. + tạo với vectơ tim m de goc giua hai vecto bang mot so cho truoc cuc hay a06 một góc 45°.

tim m de goc giua hai vecto bang mot so cho truoc cuc hay a07

Hướng dẫn giải:

tim m de goc giua hai vecto bang mot so cho truoc cuc hay a08

tim m de goc giua hai vecto bang mot so cho truoc cuc hay a09

Đáp án C

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. Cho hai vectơ’ a và overline{mathrm{b}}. Chúng minh rằng:

$\text { a } \cdot \overline{\mathrm{b}}=\frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{a}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{\mathrm{a}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}\right)=\frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}\right)$

2.Cho hai vectơ $\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}$ có $|\overline{\mathrm{a}}|=5,|\overline{\mathrm{b}}|=12$ và $|\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}|=13$ .Tính tích vô hướng $\overline{\mathrm{a}} \cdot(\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}})$

và suy ra góc giữa hai vectơ a và $\mathrm{a}+\mathrm{b}$

3. Cho tam giác đều ABC canh a. Goi H là trung điểm BC,tính

$a) \overline{\mathrm{AH}}, \overline{\mathrm{BC}}$

$b) \mathrm{AB}. AC$

$c) \mathrm{AC} . \mathrm{CB}$

4. Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính:

$a) \mathrm{AB}. \mathrm{AC}$

b) OA .AC

c) AC. CB

5. Tam giác $\mathrm{ABC} có \mathrm{AC}=9, \mathrm{BC}=5, \mathrm{C}=90^{\circ}$ , tính AB.AC

6. Tam giác ABC có AB =5, AC =4, $\mathrm{~A}=120^{\circ}$

a)tính $\begin{array}{ll}\overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{BC}} & \text { b) Goi } \mathrm{M} \text { là trung điểm } \mathrm{AC} \text { tính } \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{MA}}\end{array}$

7. Tam giác ABC có $\mathrm{AB}=5, \mathrm{BC}=7, \mathrm{CA}=8$

a)Tính $\mathrm{AB}. \mathrm{AC}$ rồi suy ra giá trị góc A

b)Tính CA . CB

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yếu phục vụ quá trình dạy và học được tốt hơn. Xem thêm cách giải phương trình bậc bốn tại đường link này nhé !

Bản quyền bài viết thuộc trường THPT thành Phố Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: Trường TH Văn Thủy (thptsoctrang.edu.vn)

nguvan3 Tháng Một, 2023